Llevaba un rato pensando en explicar el porqué de todo esto … pero mejor me callo. Si necesitas que putty guarde toda la sesión de comandos en un cacharro…
Dejarlo mas o menos así …

No tiene demasiado misterio, all session output.
El sitio donde quieres guardar los ficheros y el nombre, en mi caso &H-&Y&M&D-&T.log (vamos para que cree los ficheros así … xx.xx.xx.xx-20200427-221626.log)
Luego pinchas sobre default settings y lo grabas … y listo (ojo que si tienes guardadas otras sesiones hay que hacerlo en cada una).
Y así tendrás un directorio lleno de cientos (o miles) de ficheros que no vas a necesitar jamas … salvo que alguien te toque las narices … y entonces podrás llegar con tu ficherito y dar en las narices a alguien diciendo … no fui yo … fueron las voces (eso en caso de que la culpa no sea tuya, si la es … lo mismo te toca agachar la cabeza y asumirlo (que tampoco pasa nada, que levante la mano el que no la ha cagado alguna vez)).